Riemannian Manifold တွင် Geodesics ကိုဘယ်လိုရှာရမလဲ။

Riemannian Manifold တွင် Geodesics ကိုရှာဖွေခြင်းသည်ကွဲပြားခြားနားသောဂျီသွမေတြီတွင်စိတ်ဝင်စားဖွယ်ကောင်းသောအရေးကြီးသောအကြောင်းအရာဖြစ်ပြီးရူပဗေဒ, အင်ဂျင်နီယာနှင့်ကွန်ပျူတာသိပ္ပံတွင် application များစွာရှိသည်။ ထူးထူးအပြားပြားပေးသွင်းသူအနေဖြင့်ဘူမိရှီးအလိုက်ရှာဖွေခြင်းကိုမည်သို့ရှာဖွေရမည်ကိုနားလည်သဘောပေါက်နိုင်မှုကိုပိုမိုနက်ရှိုင်းစွာနက်ရှိုင်းစေရုံသာမကလယ်ကွင်းအမျိုးမျိုးတွင်ကျွန်ုပ်တို့၏ဖောက်သည်များကိုပိုမိုကောင်းမွန်စေနိုင်သည်။ ဤဘလော့ဂ်ပို့စ်တွင် Riemannian Manifold တွင်ဘူမိရှီးအိုဟ်ကိုရှာဖွေရန်နည်းလမ်းအမျိုးမျိုးကိုလေ့လာမည်။

1 ။ Riemannian ထူးထူးဆန်းဆန်းနှင့်ဘူမိဗေဒဆိုင်ရာမိတ်ဆက်ခြင်း

Riemannian Manifold ဆိုသည်မှာ Riemannian Metric နှင့်တွဲဖက်ထားသည့်ကွဲပြားခြားနားသောထူးထူးအပြားပြားများတပ်ဆင်ထားသည့် Riemannian Metric နှင့်တပ်ဆင်ထားသည့်ထူးခြားသောထူးထူးအပြားပြားဖြစ်သည်။ Riemannian Metric သည်ကျွန်ုပ်တို့အားခါးဆစ်များကိုတိုင်းတာရန်ခွင့်ပြုရန်ခွင့်ပြုသည်။

Riemannian Manifold ရှိ Geodesics သည် Geodesic ညီမျှခြင်းကိုကျေနပ်ရောင့်ရဲစေသောခါးဆစ်များအကြားအရှည်ကိုရှာဖွေသောခါးဆစ်များဖြစ်သည်။ အလိုလိုသိလို, Geodesics သည် Euclidean အာကာသရှိဖြောင့်မတ်သောလိုင်းများနှင့်ဆင်တူသည့်ထူးချွန်သော "ဆုံး" ခါးဆစ်ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့်, နယ်ပယ်တစ်ခုတွင် Geodesics သည်ကြီးမားသောစက်ဝိုင်းများဖြစ်ပြီး၎င်းသည်၎င်း၏စင်တာကိုဖြတ်သန်းသွားသောလေယာဉ်များကိုဖြတ်သန်းသွားသောလေယာဉ်များကို ဖြတ်. နယ်ပယ်များကို ဖြတ်. ရရှိသောစက်ဝိုင်းများဖြစ်သည်။

2 ။ Geodesic ညီမျှခြင်း

Riemannian Manifold တွင် Geodesics တွင်ဘူမိရှက်စ်ကိုရှာဖွေရန်အခြေခံအကျဆုံးနည်းလမ်းမှာ Geodesic ညီမျှခြင်းကိုဖြေရှင်းခြင်းအားဖြင့်ဖြစ်သည်။ ((M, G)) Riemannian Manifold ဖြစ်လိမ့်မည် (M) သည်ထူးထူးအပြားပြားနှင့် (ဆ) သည် Riemannian Metric ဖြစ်သည်။ (\ Gamma: i \ မှ M) သည် (i) တွင်ပွင့်လင်းသောကြားကာလတစ်ခုဖြစ်သော (i) သည် (\ thmbb {r}}}}) ကိုဖွင့်ထားသည်။

(\frac{d^{2}\gamma^{i}}{dt^{2}}+\Gamma_{jk}^{i}\frac{d\gamma^{j}}{dt}\frac{d\gamma^{k}}{dt}=0),

Curve (\ gamma) ၏ဒေသဆိုင်ရာသွဒီနိတ်သည်ကွေး (t) ၏ဒေသဆိုင်ရာသွဒီနိတ်များသည်ကွေး၏ parameter နှင့် (\ gamma {jk {jk} {jk {jk {jk} {jk {jk} {jk {i}) သည် Riema {jk} {jk} {jk {i} {i} {i} {i} {i {i {i {i {i {i}) ဖြစ်ပြီး,

Christmoffel သင်္ကေတများကိုပေးသည်။

(\ gamma_ {jk} {i} = \ frac {1} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {{}} {{{{{{}} {partial g_ {^ {{}} {{^ {{}} {{^ {{}} {\ အပိုင်း x ^ {l}}}}))

ဒေသဆိုင်ရာသွဒိနိတ်စနစ်တွင် Riemannian Metric နှင့် G_ {iJ}) ၏အစိတ်အပိုင်းများမှာ (G ^ ^ ith}}}}) ၏အစိတ်အပိုင်းများသည် (G ^ ^ ith}) ၏အစိတ်အပိုင်းများသည် (G_ {iJ})) ၏ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်။

Geodesics ကိုရှာဖွေရန်ကျွန်ုပ်တို့သည်ဒုတိယစနစ်၏စနစ်ကိုဖြေရှင်းရန်လိုအပ်သည်။ ၎င်းကို Runge - Kutta Method ကဲ့သို့သောနည်းလမ်းများ အသုံးပြု. ဤအချက်ကိုလေ့လာနိုင်သည်။ SUCLIDEAN အာကာသ (GRORECKER DELTA) (KROROCCECKER Delta) နှင့်အတူရိုးရှင်းသော Riemannian Manifolds အတွက် (GROROCCECKER မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ဒေသ) (Kroncker မြစ်ဝကျွန်းပေါ်) သည်သုင်းစ်၏သင်္ကေတများမှာသုင်းဂ်နှင့်ညီမျှသည် (\ frac {d ^ 2 {2} {2} ^ {i}} {i}} {2}}}) 0) ။ ဤညီမျှခြင်း၏ဖြေရှင်းချက်များသည်ဖြောင့်ဖြောင့်လိုင်းများ (\ gamma ^ {i} {i} + ^ ^ ^ {i})),

3 ။ အမျိုးမျိုးသောချဉ်းကပ်နည်း

Geodesics ကိုရှာဖွေရန်နောက်ထပ်နည်းလမ်းမှာမူကွဲချဉ်းကပ်နည်းဖြင့်ဖြစ်သည်။ Riemannian ထူးထူးအပြားပြား ((M, G)) တွင်ကွေး (\ gamma: [A, A, B]) ၏အရှည် ((M မှ)) အားဖြင့်ပေးထားသည်။

(ဌ (\ gamma) = \ int_ {A} {A} ^ {b} ^ sqrt {ခ {{{{{{{{) (t), \ t

ဘယ်မှာ (\ Dot {\ gamma} (t)) သည် TANCENVECTOR (\ gamma) သည်အမှတ် (\ gamma (t)) တွင် Tangent Vector ဖြစ်သည်။

Geodesics များသည်အရှည်အလုပ်လုပ်သည့် (L) ၏အရေးပါသောအချက်များဖြစ်သည်။ အရေးကြီးသောအချက်များကိုရှာဖွေရန်ကျွန်ုပ်တို့သည် (\ gamma_ {0} {0 {0 {s {s {s {s {s {s {s {s {s {s)) ကိုစဉ်းစားသည် (\ gamma {0 {0) = \ gamma (t)) နှင့်ကွဲပြားခြားနားမှုများကိုအသုံးပြုပါ။ Parameter (S) နှင့် ပတ်သက်. အရှည်အလုပ်လုပ်သော (\ Delta L) ၏ပထမဆုံးအပြောင်းအလဲကို ပြုလုပ်. သုညနှင့်ညီမျှခြင်းကိုသတ်မှတ်ခြင်းဖြင့်ကျွန်ုပ်တို့သည်ဘူတိုsicညီမျှခြင်းကိုရယူနိုင်ပါသည်။

ကွဲပြားမှုချဉ်းကပ်မှုသည်ပထဝီဝင်ရေးနှင့်စပ်လျဉ်း။ ဂျီဒေဗေဒဆိုင်ရာနှင့်စပ်လျဉ်း။ သိလိုစိတ်ကိုနားလည်ခြင်း၏အားသာချက်ရှိသည်။ ၎င်းသည်ကျွန်ုပ်တို့အားကန ဦး အခြေအနေများရှိသည့်ပထဝီအနေအထားနှင့်ပတ်သက်သောတည်ရှိမှုနှင့်ထူးခြားမှုကဲ့သို့သောပထဝီအနေအထား၏အရေးကြီးသောဂုဏ်သတ္တိများကိုသက်သေပြရန်လည်းခွင့်ပြုသည်။

4 ။ Geodesic စီးဆင်းမှုနှင့် Hamiltonian တရားဝင်ဝါဒ

ဂျော့ဒ်လက်ရှိစီးဆင်းမှုသဘောတရားသည် Riemannian Manifold တွင် Geodesics ကိုလေ့လာရန်အစွမ်းထက်သောနည်းလမ်းဖြစ်သည်။ Geodesic စီးဆင်းမှုသည်ထူးခြားသည့်အစုအဝေး (TM) ၏ထူးခြားသောအစုအဝေး (TM) တွင် parameteromorphisms (TM) တွင် diffeomorphism များဖြစ်သည်။ Point (P \ တွင်) သည် ((v \ t {p {t})) (\ thlipa), \ t1 (P, v)) (P, V)) (P, V)) (P, V)) (P, V)) (P, V)) (P, V)) (P, V)) (P, v)) ကိုအမှတ် (P, V)) ကိုအမှတ် (P, V)) ကိုအမှတ် (P, V)) ကို (P, v)) ကို (P, V)) ကို (P, v)) ကန ဦး အလျင် (v) နှင့်အတူ။

Geodesic စီးဆင်းမှုကို Hamiltonian စနစ်၏စည်းကမ်းချက်များတွင်ဖော်ပြနိုင်သည်။ Tangent အစုအဝေးကို (H (P, V) = \ frac {1} {2} {2} {2} {2} {2} {2}) System အတွက် Motion Hamiltonian ညီမျှခြင်း ((TM, H)) သည် Geodesic ညီမျှခြင်းနှင့်ညီမျှသည်။

Hamiltonian အန်တရွအရ, ကျွန်ုပ်တို့သည်ဘူမိဗေဒဆိုင်ရာအပြုအမူများကိုလေ့လာရန် Symplectic Geometry နှင့် Dynamical Systems များမှနည်းစနစ်များကိုကျင့်သုံးနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့်ကျွန်ုပ်တို့သည်ဘူမိဗေဒဆိုင်ရာတည်ငြိမ်မှုကိုခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း, ပုံမှန်အစည်းအဝေးဘူမိဘူစ်၏တည်ရှိမှုနှင့်ဂြိုလ်သားအားလုံး၏အစုံ၏အစုံ၏ဖွဲ့စည်းပုံကိုခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနိုင်သည်။

5 ။ အင်ဂျင်နီယာနှင့်ကျွန်ုပ်တို့၏ထူးထူးအပြားပြားထုတ်ကုန်များတွင် application များ

အင်ဂျင်နီယာတွင် Riemannian Manifold ရှိ Geodesics ၏အယူအဆသည်နယ်ပယ်အသီးသီးတွင်အသုံးချပရိုဂရမ်များရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့်, စက်ရုပ်လက်မောင်း၏ရွေ့လျားမှုကိုစီစဉ်သည့်အခါ,

ထူးထူးအပြားပြားပေးသွင်းသူအနေဖြင့်ကျွန်ုပ်တို့သည်မြင့်မားသောအရည်အသွေးမြင့်မားသောထုတ်ကုန်များ (/ Valve / Manifolds / staints) (/ Manifolds / staints) နှင့်အတူ - Manifolds - Valves: Valves / Manifolds / BRASS / BRASS] (/ Valve / Manifolds) [အဆို့ရှင်နှင့်အတူဆန်းသစ်သောသရုပ်ဆောင်] (/ valve / manifolds / manifolds / ကြေးဝါ - Manifolds - Valves.html) နှင့်အတူ။ ဤအထူးထူးအပြားပြားများသည်မတူကွဲပြားသောစက်မှုလုပ်ငန်းများရှိကျွန်ုပ်တို့၏ဖောက်သည်များ၏မတူညီသောစက်မှုလုပ်ငန်းများရှိကျွန်ုပ်တို့၏ဖောက်သည်များ၏လိုအပ်ချက်များကိုဖြည့်ဆည်းရန်ဒီဇိုင်းပြုလုပ်ထားသည်။

ပထဝီနိုင်ငံရေးရာ၏တည်ရှိမှုနှင့်အပြုအမူကဲ့သို့သောထူးကဲသောသင်္ချာဆိုင်ရာဂုဏ်သတ္တိများကိုနားလည်ခြင်းသည်ကျွန်ုပ်တို့အားပိုမိုထိရောက်သောနှင့်ယုံကြည်စိတ်ချရသောထူးခြားသောထုတ်ကုန်များကိုဒီဇိုင်းဆွဲရန်ကူညီနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့်, အရည်ဖြန့်ဖြူးခြင်းဆိုင်ရာထူးထူးအပြားပြားများဒီဇိုင်းရေးဆွဲခြင်းတွင်ဘူမိဗေဒသဘောတရားကိုစီးဆင်းမှုလမ်းကြောင်းများကိုပိုမိုကောင်းမွန်စေရန်နှင့်ဖိအားကျဆင်းမှုကိုလျှော့ချရန်အသုံးပြုနိုင်သည်။

6 ။ နိဂုံးနှင့်ဝယ်ယူရန်အတွက်ဆက်သွယ်ရန်

နိဂုံးချုပ်အနေဖြင့် Riemannian Manifold တွင် Geodesics ကိုရှာဖွေခြင်းသည်မတူညီသောနည်းလမ်းများနှင့်အသုံးချပရိုဂရမ်များနှင့်အတူကြွယ်ဝသောရှုပ်ထွေးသောခေါင်းစဉ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ Geodesic ညီမျှခြင်းကိုဖြေရှင်းခြင်း, ကွဲပြားခြားနားသောချဉ်းကပ်နည်းကိုအသုံးပြုခြင်းသို့မဟုတ် Hamiltonian ပုံစံကိုကျင့်သုံးခြင်းအားဖြင့်ဖြစ်စေနည်းလမ်းတစ်ခုစီသည်ပထဝီအနေအထားနှင့်တက်ကြွသောဂုဏ်သတ္တိများသို့ထူးခြားသောထိုးထွင်းသိမြင်မှုကိုပေးသည်။

ဦး ဆောင်သောထူးထူးအပြားပြားများပေးသွင်းသူအနေဖြင့်ကျွန်ုပ်တို့သည်အရည်အသွေးမြင့်မားသောထူးခြားသောထုတ်ကုန်များနှင့်ကောင်းမွန်သောဖောက်သည်ဝန်ဆောင်မှုကိုထောက်ပံ့ရန်ကတိကဝတ်ပြုထားသည်။ အကယ်. သင်သည် [အဆို့ရှင်များနှင့်အတူသံမဏိထူးထူးအပြားပြားများ] ကဲ့သို့သောကျွန်ုပ်တို့၏ထုတ်ကုန်များကိုစိတ်ဝင်စားပါက (/ valve / manifolds / stainles), Valves] Valves] (/ Valve / Manifolds / Bryfold) - Valves.html တို့နှင့်အတူပါ 0 င်သည်။ သင့်ကိုအစေခံခြင်းနှင့်သင်၏ထူးထူးခွားခွားလိုအပ်ချက်များကိုဖြည့်ဆည်းရန်မျှော်လင့်ပါသည်။

ကိုးကားခြင်း

• Carmo, Manfredo perdigãoလုပ်ပါ။ Riemannian Geometry ။ Birkhäuser, 1992 ။
• Lee, John M. Riemannian Manifolds - အဖြစ်များတတ်သည်။ Springer, 1997 ။
• Spivak, Michael ။ differential ကိုဂျီသွမေတြီနှင့်ပြည့်စုံသောနိဒါန်း။ 1979 ကိုထုတ်ဝေသောသို့မဟုတ်ပျက်စီးခြင်း။